Prima pagină

Seminarii MS

Seminarul 1
Tematica seminarului :
\bullet Probleme de numarare

Divide_et_impera

Filip al II-lea    (382-336 Î.C.)

La un summit important sunt prezenti sefii a opt state inclusiv presedintele Romaniei si presedintele S. U. A.  La fotografia de grup de la final cei opt sunt asezati in linie pentru a fi fotografiati. Cate asezari sunt posibile astfel ca presedintele S.U. A . si al  Romaniei sa stea unul langa celalalt ?

Rezolvare :  notam cei opt presedinti cu 1, 2 , 3,  …  8   folosind cifrele 1 si 2 pentru presedintele S.U.A.  si al Romaniei. Vom folosi putina tactica militara :)  pentru  a rezolva aceasta problema .

Este destul de dificil sa calculam direct numarul de posibilitati. Vom incerca sa divizam fortele inamicului in cat mai multe parti :

Etapa I : calculam in cate moduri pot fi asezati presedintele Romaniei si al S. U. A  astfel incat sa stea unul langa celalalt

Etapa II : calculam in cate moduri ii putem aseza pe ceilalti 6 presedinti la poza de grup.

E I : In consecinta: cifrele 1 si 2 fiind lipite una de cealalta se vor plimba de pe pozitia  1 pana pe pozitia 7  (atunci cand 2 ajunge al 8-lea)  , deci  7 posibilitati.   Dar putem aseza pe 2 in fata lui 1 deci inca 7 posibilitati, asadar in total  14 posibilitati.

E II : Pentru  a calcula si numarul de posibilitati de aranjare a celorlalti 6  tinem cont de faptul ca sunt de ocupat 6 pozitii  deci A_6^6=6!=720   posibilitati. In final  observam ca  inamicul a cedat :   sunt  14\cdot 720 posibilitati de aranjare la poza de grup.

Tema :

1. Trei persoane au 6 cesti, 8 farfurii, 4 lingurite, toate deosebite. In cate feluri pot ele pune masa pentru ceai daca fiecare primeste o ceasca, o farfurie si o lingurita ?

2. Aratati ca C^2_{8}=C_{8}^6 apoi ca C^{k}_{n}=C_n^{n-k} pentru orice k\leq n 3. Cate diagonale are un poligon regulat cu 15 varfuri ?

Seminarul 2
Tematica seminarului :
\bullet Sistematizarea si prezentarea datelor statistice

\clubsuit  bibliografie : prezentarea datelor statistice, de la sectiunea cursuri

  • Diagramele de dispersie

O diagrama de dispersie este de fapt un grafic fara nicio linie , intersectiile punctelor dintre cele doua seturi de date sunt trasate, fara a exista vreo incercare de a trasa fizic o linie. Sunt folosite pentru a defini zona de relationare dintre cele doua variabile.

Un exemplu foarte cunoscut din astronomie este diagrama Herzsprung-Russel prezentata mai jos atat in varianta „cosmetizata” :

cat si in cea normala :

  • Diagramele cu bare : sunt formate din coloane care reprezinta un grup (eticheta)  definit de o variabila categoriala. Marimea fiecarei coloane reprezinta marimea grupei definita de respectiva eticheta .

  • Histogramele:  sunt oarecum asemanatoare diagramelor cu bare dar de data aceasta coloanele reprezinta un grup definit de o  variabila cantitativa. De obicei nu se lasa spatiu intre coloanele adiacente. Fiecare coloana reprezinta,  de cele mai multe ori, un interval de valori, dar poate reprezenta si o singura valoare.

Diferente:  principala diferenta intre cele doua moduri de reprezentare a datelor este faptul ca diagramele cu bare sunt folosite pentru a reprezenta variabile categoriale iar histogramele pentru cele cantitative. Ca o consecinta a acestei afirmatii trebuie sa retinem ca putem discuta despre asimetria (skewness-ul) unei histograme dar nu este potrivit sa discutam despre asimetria unei diagrame cu bare.

Asadar Diagrama Pareto este mai mult o diagrama cu bare si nu o histograma cum e definita uneori. Aveti in linkul anterior un tutorial pentru constructia unei astfel de diagrame . Il recomand impreuna cu articolul postat cateva randuri mai jos :  8 instrumente pentru o calitate perfecta.

  • Diagramele circulare : sunt folosite in special pentru a compara date prin prisma procentajului din intreg .  Fiind foarte greu de comparat datele intre ele aceste tipuri de diagrame au fost mereu criticate fiind acuzate ca sprijina manipularea , intrucat evidentiaza doar grupa dominanta. Este preferabil sa le folosim doar atunci cand dorim sa comparam marimea unei grupe cu intreaga „placinta „, in ideea de a extrage unele concluzii.

  • puteti continua studiul modalitatilor de reprezentare a datelor cu urmatorul articol :

8 instrumente pentru o calitate perfecta

Observatii pentru crearea diagramelor :

Exista trei feluri de minciuni : minciuni, minciuni blestemate … si statisticile

Mark Twain

  • folosirea simbolurilor pictoriale in schimbul barelor sau a cercurilor (diagrame circulare) poate crea false impresii in mintea celui care le interpreteaza :
  • exemplu :  un studiu asupra importurilor de vin in Australia :si  asupra suprafetelor plantate cu vita de vie  a condus la urmatoarele diagrame :
  • in prima diagrama lipseste 1998 si sunt greu de observat proportiile dintre valori , de exemplu raportul in care se afla 1.04 si 2.25 .
  • in a doua diagrama lipsa unei scalari corecte pe verticala creaza o imagine falsa asupra evolutiei in timp a fenomenului

Concluzii :

  • evitati diagramele 3-D  si simbolurile pictoriale, creaza confuzie.
  • cand reprezentati date pozitive axa verticala sa inceapa intotdeauna de la 0.
  • atasati un titlu si  etichetati fiecare axa.
Tema de week-end:
  • un set de ciudatenii ale oamenilor de care e bine sa tinem seama    (puteti incerca google translate ,  daca e nevoie)

Fenomene ale factorului uman in problem solving

Seminarul 3
Tematica seminarului :
\bullet Indicatori statistici : marimile medii

\clubsuit  bibliografie : Indicatori statistici, de la sectiunea cursuri.

Seminarul 4
Tematica seminarului :
\bullet Aplicatii ale marimilor medii in economie

Anexa : fisa seminar-tabel logaritmi zecimali

Indicii bursieri : evidenţiază mişcarea generală a cursurilor bursiere pe care o anumită piaţă, respectiv tendinţa de ansamblu a pieţei, indicii sunt o măsură a dinamicii a unui grup reprezentativ de titluri sau a tuturor titlurilor care sunt cotate la bursa de valori.

La bursa de pe Wall Street (N.Y.S.E.- New York Stock Exchange) se utilizează cunoscutul indice Dow-Jones, la bursa din Tokio (T.S.E.– Tokio Stock Exchange) indicele Nikkei, iar la bursa de la Londra (L.S.E.- London Stock Exchange) indicele F.T.-S.E 100.

Mişcarea bursei, reflectată de indice, poate să arate o direcţie ascendentă (o piaţă “sub semnul taurului” sau bull market) sau dimpotrivă, o direcţie descendentă (o piaţă “sub semnul ursului” sau bear market), fiecare din situaţiile respective, ca şi mişcarea zilnică a bursei, având un ecou rapid în ansamblul vieţii de afaceri.

Indicele Financial Times (FT – 30). Acest indice a apărut în 1935, calculat  de Financial News (ulteior Financial Times), şi a luat în considerare acţiunile a 30 de companii reprezentative din ramura industriei. Datorită numărului mic de acţiuni luate în calcul, acest indice este foarte sensibil la modificările bursei faţă de alţi indici care au în componenţă un număr mai mare de acţiuni. Indicele se calculează ca medie geometrică a cursului fiecărei acţiuni împărţit la cursul din data considerată ca bază. Considerând cursurile celor 30 de acţiuni :

c_1,c_2,c_3\ldots c_{30}

indicele FT-30se determina pe baza relatiei :

FT30=\frac{\sqrt[30]{c_1\cdot c_2\cdot\ldots c_{30}}}{V_b}

unde V_b  este valoarea de baza a cursului  actiunilor. Indicele  FT-30 este calculat la Londra şi se mai spune despre el că este un indice instantaneu, având în vedere faptul că este calculat din oră în oră începând cu ora 10^{00}  şi până la 17^{00}, negocierile oficiale oprindu-se la ora  15^{30}.

Seminarul 5
Tematica seminarului :
\bullet Indicatori de pozitie

Aplicatii in domeniul medical : Principalul inconvenient al  valorilor medii il reprezinta sensibilitatea acestora fata de valorile extreme, din seria de date statistice pe care o studiem. Astfel lipsa de omogenitate a datelor face ca media aritmetica, de exemplu, sa devina nereprezentativa pentru datele studiate.

Indicatorii de pozitie NU sunt influentati de valorile extreme si prin urmare aceasta proprietate a lor ii face sa fie utilizati in practica in diverse domenii in detrimentul marimilor medii atunci cand constatam prezenta unor valori extreme in datele culese.

In  medicina, in special, atunci cand experimental se stabileste doza dintr-un medicament, necesara insanatosirii unui pacient , prezenta unui individ atipic (a carui organism prezinta o mare rezistenta la efectul medicamentelor )  care automat ar avea nevoie de o doza foarte mare  ar influenta puternic media aritmetica a dozelor . Prin urmare pentru calculul dozei medii se  foloseste mediana seriei dozelor, iar valoarea gasita nu va tine cont de anomaliile observate in practica si e mult mai reprezentativa pentru fenomenul studiat experimental.

Politica salariala : Majoritatea companiilor occidentale au urmatoarea politica salariala : daca esti nou si neexperimentat  in job-ul tau  vei fi platit sub prima cuartila Q_1 pe scara salariala iar dupa ce castigi indemanare si experienta salariul tau va creste si vei depasi cuartila superioara Q_3.

Seminarul 6
Tematica seminarului :
\bullet Indicatori de variatie

Calculul riscului unui activ si estimarea rentabilitatii unui portofoliu

Seminarul 7
Tematica seminarului :
\bullet Caracterizarea statistica a formei de reprezentare a frecventelor : coeficienti de asimetrie
Anexa 1 :
Anexa 2 :

Simetrie si  frumusete Oamenii si multe alte specii de animale considera formele simetrice mai atractive decat cela asimetrice .  Unii cercetatori au propus ipoteza ca preferinta pentru simetric a fost dezvoltata  la animale in cadrul procesului de evolutie deoarece gradul de simetrie in semnale indica calitatea semnalizatorului.

  • intr-un studiu facut asupra randunicilor in anii ’90 s-a constatat ca pasarile cu coada mai lunga si mai simetrica si-au gasit perechea mai rapid si s-au bucurat de un mai  mare succes reproductiv decat pasarile cu coada scurta si putin asimetrica. S-a ajuns la concluzia ca femelele randunica folosesc simetria penajului ca un indicator al calitatii masculilor.

Seminarul 8
Tematica seminarului :

Testul 1 la seminar

Barem de corectare :va fi afisat dupa ce testarea ia sfarsit

Seminarul 9
Tematica seminarului :
\bullet Probabilitati
Tema 1 :

1. Pentru loja V.I.P.  la un mare spectacol s-au vandut toate cele 4 bilete la 4 persoane diferite. Stiind ca fiecare persoana ocupa la intamplare un loc in loja si nu conform numarului de pe bilet aflati :

a) Probabilitatea ca nicio persoana sa nu se fi asezat pe locul ei , scris pe bilet .

b) Probabilitatea ca exact 2 persoane sa ocupe acelasi loc cu numarul prevazut pe bilet.

c) Probabilitatea ca cel putin 2 persoane sa se fi asezat pe locul gresit.

2. Intr-o intreprindere se afla 10 utilaje ultramoderne,  20 de utilaje calitatea a doua  si  10 utilaje second-hand  si toate produc  aceiasi piesa A.  Utilajele ultramoderne produc 2%  piese defecte, cele de calitatea a doua produc 6% piese defecte iar cele second hand produc 10% piese defecte.

a) Care este probabilitatea ca luand la intamplare o piesa A ea sa fie defecta?

b) Care este probabilitatea ca daca am cumparat din magazin o piesa A in perfecta stare de functionare ea sa fi fost produsa de catre utilajele second-hand ?

3. Doi jucatori  H si T urmeaza a se intalni intr-o finala a unui turneu de snooker. Intalnirile anterioare dintre cei doi arata ca probabilitatea ca H sa castige un frame este de 60% iar probabilitatea ca T sa castige un frame este de 40%.  In prima sesiune a finalei s-au disputat 5 frame-uri.

a) Care este probabilitatea ca  T sa castige 3 frame-uri din cele 5 posibile.

 b) Care este probabilitatea ca T sa castige cel putin un frame ?

c) Care este probabilitatea ca H sa piarda cel putin 4 frame-uri?

d) Care este probabilitatea ca H sa castige cel putin 2 frame-uri?

e) Care este probabilitatea ca T sa castige sesiunea?

4. La concursul Super Bingo sunt trei urne mari,  cinci mijlocii si sapte urne mici din care prezentatorul emisiunii poate sa extraga biletul lui Ionescu.   Stiind ca Ionescu , un impatimit al jocului a cumparat foarte multe bilete in asa fel incat in urnele mari  12% dintre bilete sunt  ale sale , in urnele mici 5 % dintre bilete sunt toate ale sale iar in urnele mijlocii  9% sunt ale sale, care este sansa ca Ionescu sa castige ?  Ionescu afla la telefon ca a castigat , iar sotia sa il intreaba : „-Din ce urna a fost extras biletul ? ”

Ionescu se gandeste putin si apoi raspunde : „-Probabil a fost extras dintr-o urna   m ….  ” Completati raspunsul lui Ionescu si il argumentati .

Seminarul 10
Tematica seminarului :
\bullet Probabilitati conditionate. Variabile aleatoare
Variabile aleatoare- fisa seminar
Seminarul 11
Tematica seminarului :
\bullet Variabile aleatoare continue
Tema 2 :

1.  Vom maslui doua zaruri in felul urmator : primului zar ii stergem cifrele 3 si 4 si vopsim in locul ambelor cifra 2, celui de al doilea zar ii stergem cifra 6 si vopsim in locul ei cifra 5.  Vom nota cu  Z_1 si Z_2 variabilele aleatoare care inregistreaza, la o aruncare,  numarul de pe fata zarului primului zar respectiv de pe fata celui de al doilea zar.

a)  Afisati tabloul cu distributia de probabilitate  a variabilei Z_1 apoi  a lui Z_2

b ) Sa se scrie distributiile variabilelor aleatoare :    Z_1+Z_2 ,    Z_1\cdot Z_2    , Z_1^2 ,     3\cdot Z_1-1

2.  Consideram urmatoarea variabila aleatoare simpla : X:\hspace{1cm}\left(\begin{array}{ccccc}1&5&6&8&9\\\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ \end{array}\right)

a) Aflati valoarea medie si dispersia variabilei aleatoare X

b)  Aflati M(X^2)  si apoi calculati dispersia folosind aceasta valoare . (a doua formula a dispersiei)

c) Determinati functia de repartitie, asociata variabilei ,  si afisati graficul acesteia

d) Calculati  M(3X-2) si D^2(4X+1)

e) Calculati probabilitatile :  P(X=2)P(X=8) ,   P(X<2)  ,   P(X<8)  ,   P(2\leq X<8).

3.  Consideram functia  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} definita prin : f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{2}x),&x\in [0,2] \\ 0&in\hspace{0,5cm}rest\\ \end{array}\right.

a) daca f este densitatea de repartitie a variabilei continue X  atunci aflati functia de repartitie asociata aceleiasi variabile.

b) Calculati valorea medie si dispersia variabilei X

c) Calculati probabilitatile: P(X=\frac{\pi}{2})  , P(X<\frac{\pi}{2})  si P(\frac{\pi}{3}\leq X<\frac{\pi}{2})

 Seminarul 12
Tematica seminarului :
\bullet Legi clasice de probabilitate
Tema 3 :

1. La un turneu de poker, un jucator are de disputat un anumit numar de partide iar in fiecare partida porneste cu o sansa de castig de 35%. Comparati probabilitatea ca jucatorul sa castige 4 partide din 7 cu probabilitatea sa castige 3 partide din 5.

2. La o loterie sunt 20 de bilete dintre care 8 sunt castigatoare. O persoana cumpara 12 bilete. Sa se determine probabilitatea ca :

a) un bilet sa fie castigator

b) trei bilete sa fie castigatoare

c) cel putin 3 bilete sa fie castigatoare

d) care este numarul preconizat de bilete castigatoare ? (construiti intai variabila aleatoare care are ca valori numarul de bilete castigatoare dintre cele 12 cumparate)

3.  Intr-un transport de fructe al firmei ALABALAPORTOCALA     S.A.   sunt aproximativ 50 000 de banane si  100 000 de portocale. Probabilitatea ca pana la destinatie bananele sa se periseze este de 0, 000205 iar pentru portocale este 0, 00003.

Care este probabilitatea ca la sosirea transportului sa fie gasite 20 de banane stricate?

Care este probabilitatea ca la sosirea transportului 5  fructe sa fie perisate ?

La cate portocale ne asteptam sa se periseze pe drum ?

Seminarul 13
Tematica seminarului :
\bullet Sondajul statistic

Mai jos gasiti cateva fisiere, care va pot fi utile in intelegerea cursurilor si a seminariilor  dedicate  sondajului statistic:

\clubsuit  bibliografie :  Sondajul statistic-cursul on line

Sondajul statistic-notiuni teoretice

Probleme -sondaje statistice

Veti exclude subcapitolele  4.7 , 4.8 si 4.9  si pasajele referitoare la caracteristici alternative, acestea sunt facultative, sunt doar  pentru cultura voastra matematica si generala 😉

Seminarul 14
Tematica seminarului :
\bullet Testarea ipotezelor statistice

In tabelul de mai jos aveti valorile lui z si ale lui t

Valorile lui z si t

Testarea ipotezelor statistice – fisa de seminar

  • va rog sa parcurgeti si problemele referitoare la ipoteze statistice   din fisierul   incarcat la seminarul 13
  • problemele rezolvate : 1, 2,   5, 6,7, 8, 9, 10 , 11, 12 , 13
  • problemele propuse : 1 si 3
Complemente pentru pregatirea examenului

Tema 1 :

Problema 1, Rezolvare :  rezolvam aceasi problema dar pentru 4 persoane , pentru a nu incarca post-ul.

Notam cu :

A_1  evenimentul : persoana 1 se aseaza pe locul ei

A_2  evenimentul : persoana 2 se aseaza pe locul ei

A_3  evenimentul : persoana 3 se aseaza pe locul ei

A_4  evenimentul : persoana 4  se aseaza pe locul ei

a)  probabilitatea ca nicio persoana sa se fi asezat pe locul scris pe bilet :  problema e ca evenimentele A_1, A_2A_3 , A_4  sunt dependente  caci daca de exemplu A_1 se realizeaza atunci  se modifica probabilitatea ca A_2  sa se realizeze,  ramanand mai putine locuri de ocupat se modifica numarul cazurilor posibile de aranjari  dar si numarul cazurilor favorabile.

evenimentul de care vorbim se exprima in limbaj de evenimente ca : \overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}\cap\overline{A_4}

daca incercam sa aplicam formula de calcul a probabilitatii intersectiei unor evenimente va trebui sa scriem varianta in cazul evenimentelor dependente si e destul de dificil sa calculam probabilitatile ce vor fi ca factori in produsul rezultat.

Incercam alta metoda : Care este evenimentul complementar evenimentului cerut ?

R:   evenimentul cand cel putin o persoana se aseaza pe locul ei , deci

P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}\cap\overline{A_4})=1-P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)

Stim ca :

P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)+

P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3) -P(A_1\cap A_4)-P(A_2\cap A_3)-P(A_2\cap A_4)-P(A_3\cap A_4)

P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_4)+P(A_2\cap A_3\cap A_4)+P(A_1\cap A_3\cap A_4)

-P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)

Pentru P(A_1)=\frac{cazuri\hspace{0,2cm}favorabile}{cazuri\hspace{0,2cm}posibile}=\frac{3!}{4!}

cazuri favorabile : presupunem ca persoana 1 s-a asezat pe locul ei , deci mai raman 3 locuri de ocupat , care se pot ocupa in A_3^3=3! moduri

cazuri posibile : trebuie asezate 4 persoane pe 4 locuri, conteaza ordinea deci A_4^4=4! moduri

analog restul .

Pentru P(A_1\cap A_2)=\frac{cazuri\hspace{0,2cm}favorabile}{cazuri\hspace{0,2cm}posibile}=\frac{2!}{4!}

cazuri favorabile : presupunem ca persoana 1 si persoana 2 s-au asezat pe locul lor , deci mai raman 2 locuri de ocupat , care se pot ocupa in A_2^2=2! moduri (conteaza ordinea)

cazuri posibile : 4!

analog restul.

Pentru P(A_1\cap A_2\cap A_3)=\frac{cazuri\hspace{0,2cm}favorabile}{cazuri\hspace{0,2cm}posibile}=\frac{1}{4!}

cazuri favorabile : presupunem ca persoana 1 si persoana 2 si persoana 3 s-au asezat pe locul lor , deci mai raman 1 locuri de ocupat , care se pot ocupa in 1 moduri

cazuri posibile : 4 !

Pentru P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=\frac{1}{4!}

inlocuind obtinem :

P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}\cap\overline{A_4})=1-4\cdot\frac{3!}{4!}+6\cdot\frac{2!}{4!}-4\cdot\frac{1}{4!}+\frac{1}{4!}=\frac{3}{8}

Repetati acelasi rationament pentru cazul  a 6 persoane !

b) se aplica formula Poincare- Jordan , pentru exact 2 evenimente:

P^{(2)}=P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap A_3)+P(A_1\cap A_4)+P(A_2\cap A_3)-

-C_3^2[P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_4)+P(A_2\cap A_3\cap A_4)+P(A_1\cap A_3\cap A_4)]

+C_4^2\cdot P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=

=6\cdot\frac{2!}{4!}-C_3^2\cdot 4\cdot\frac{1}{4!}+C_4^2\frac{1}{4!}

conform celor discutate mai sus.

c) se aplica Poincare-Jordan pentru cel putin 2 evenimente.

1 comentariu (+add yours?)

  1. Johnk743
    Mai 12, 2014 @ 15:44:04

    I discovered your blog web site website on the search engines and check several of your early posts. Always sustain up the very excellent operate. I lately additional increase Rss to my MSN News Reader. Looking for toward reading much far more on your part later on! ddeegeekddbk

    Răspunde

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: