Prima pagină

Seminarii AM

Seminarul 14
Tematica seminarului : Schimbarea de variabila in integrala dubla
  • am afisat mai jos anexele fiecarui seminar tinut anul trecut in speranta ca va vor fi de  folos in pregatirea examenului.
  • sectiunea de integrare  este incompleta , pentru examen veti avea de pregatit ma mult,   cele de mai jos sunt doar notiuni introductive !

Reamintim formula schimbarii variabilelor la integrala dubla :

\iint\limits_{D_{2}}f(x.y)dxdy=\iint\limits_{D_{1}}f[x(u,v),y(u,v)]\cdot|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}|dudv

unde :

\left\{\begin{array}{cc}x=x(u,v)&\mbox{}\\y=y(u,v)&\mbox{}\end{array}\right.

descrie o transformare care duce domeniul D_{1} in domeniul D_{2}.

Vom discuta mai jos despre trecerea la coordonate polare si anume despre transformarea :

\left\{\begin{array}{cc}x=\rho cos\theta,&\rho\in[0,R];\\y=\rho sin\theta&\theta\in[0,2\pi)\end{array}\right.

\rho este distanta de la M(x,y) la originea reperului si \theta unghiul format de punctul M(x,y) , originea reperului si axa Ox.

Sa retinem ca |\frac{D(x,y)}{D(\rho,\theta)}|=\rho pentru ca vom fi nevoiti sa inlocuim aceasta valoare in integrale la momentul schimbarii variabilelor.

Sa retinem si faptul ca dupa schimbarea variabilelor noile variabile sunt \rho si \theta .

Cand trecem la coordonate polare ? Se recomanda trecerea la coordonate polare atunci cand functia  care se integreaza contine expresii de tipul „x^2+y^2” care ne trimit cu gandul la ecuatia cercului.

Exemplu : Calculati integrala \iint\limits_{D}(x^2+y^2)^2dxdy unde

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 9\}

Rezolvare : Aici domeniu de integrare este un disc circular de raza 3 caci 9=3^2

si astfel R=3

Trecem la coordonate polare :

\left\{\begin{array}{cc}x=\rho cos\theta,&\rho\in[0,3];\\y=\rho sin\theta&\theta\in[0,2\pi)\end{array}\right.

si sa remarcam ca noile limite de integrare vor fi [0,3] si [0,2\pi].

Asadar f(x,y)=(x^2+y^2)^2 iar x(u,v)=\rho cos\theta si y(u,v)=\rho sin\theta iar |\frac{D(x,y)}{D(u,v)}|=|\frac{D(x,y)}{D(\rho,\theta)}|=\rho.

Folosind formula de schimbare a variabilelor obtinem :

\iint\limits_{D_{2}}(x^2+y^2)^2dxdy=

\iint\limits_{[0,2\pi]\times[0,3]}((\rho cos\theta)^2+(\rho sin\theta)^2)^2\cdot\rho\hspace{0,5cm}d\rho d\theta

=\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{3}\rho^4\cdot\rho\hspace{0,2cm}d\rho)d\theta

=\int_{0}^{2\pi}(\frac{\rho^6}{6}|_{0}^{3})d\theta=\int_{0}^{2\pi}(\frac{3^6}{6}-\frac{0^6}{6})d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{3^6}{6}d\theta=2\pi\frac{3^6}{6}.

Am folosit aici relatia cos^2\theta+sin^2\theta=1 si e de observat ca in ultima integrala trebuia sa integram o constanta reala.

Seminarul 13
Tematica seminarului : Integrale duble

Vom prezenta doua exemple de integrale duble :

1. Calculati integrala \iint\limits_{D}\frac{cosy}{x^2}dxdy unde

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\leq x\leq3,0\leq y\leq\frac{\pi}{2}\}

Rezolvare : Avem asadar

\iint\limits_{D}\frac{cosy}{x^2}dxdy=\int\limits_{1}^3(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos y}{x^2}dy)dx

In integrala \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos y}{x^2}dy vom considera pe x drept o constanta reala, deci :

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosy}{x^2}dy=\frac{sin\frac{\pi}{2}}{x^2}-\frac{sin0}{x^2}

=\frac{1}{x^2} caci integrarea se face dupa y si primitiva lui cosy este siny

Inlocuind gasim :

\iint\limits_{D}\frac{cosy}{x^2}dxdy=\int_{1}^{3}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}|_{1}^{3}=

=-\frac{1}{3}+\frac{1}{1}=\frac{2}{3}.

Am folosit faptul ca -\frac{1}{x} este primitiva lui \frac{1}{x^2}.

2. Calculati integrala dubla : \iint\limits_{D}(xe^y)dxdy unde

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\leq x\leq2,x+1\leq y\leq x^2\}

Rezolvare : Scriem integrala sub forma :

\iint\limits_{D}(xe^y)dxdy=\int\limits_{0}^{2}(\int\limits_{x+1}^{x^2}xe^ydy)dx

apoi

\int\limits_{x+1}^{x^2}xe^ydy=xe^{x^2}-xe^{x+1} si inlocuind

\iint\limits_{D}(xe^y)dxdy=\int\limits_{0}^{2}(xe^{x^2}-xe^{x+1})dx=

\int\limits_{0}^{2}xe^{x^2}dx-\int\limits_{0}^{2}xe^{x+1}dx

Pentru prima integrala gasim

\int\limits_{0}^{2}xe^{x^2}dx=\frac{e^{x^2}}{2}|_{0}^{2}=\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2}

Pentru a doua integrand prin parti obtinem :

\int_{0}^{2}xe^{x+1}dx=\int_{0}^{2}x(e^{x+1})^{'}dx

=xe^{x+1}|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}e^{x+1}\cdot x^{'}dx

=2e^3-\int_{0}^{2}e^{x+1}dx

=2e^3-e^{x+1}|_{0}^{2}=2e^3-e^3+e=e^3+e.

In concluzie :

\iint\limits_{D}(xe^y)dxdy=\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2}-e^3-e.

Seminarul 12
Tematica seminarului :
\bullet Metoda celor mai mici patrate

Fisa de seminar-metoda celor mai mici patrate

\bullet am afisat in sectiunea rezervata seminarului 11 doua probleme rezolvate de extrem conditionat cu regula multiplicatorilor a lui Lagrange.

Tema :

o gasiti in fisa de seminar

Daca doriti sa aflati mai multe despre numerele Köchel sau misiunea Mariner IV si planeta Marte puteti accesa aceste link-uri .

Seminarul 11
Tematica seminarului :
\bullet Probleme de extrem
\bullet Extreme conditionate : regula multiplicatorilor a lui Lagrange

\bullet pentru o mai buna intelegere a regulii multiplicatorilor a lui Lagrange aveti aici doua probleme de extrem conditionat rezolvate

\bullet Am afisat baremul de corectare a primului test in sectiunea dedicata seminarului 9

Tema de week-end :

Robert Harris : Adevaruri din era informatiei

…. un articol care trebuie citit


Tema :

Aflati punctele de extrem local ale functiilor :

\bullet f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} definita prin :

f(x,y)=x^3+y^3-3y+2

\bullet f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} definita prin :

f(x,y,z)=2(x^3+y^3+z^3)+3xy-9z^2-12(x+y-z-1)

Seminarul 10
Tematica seminarului :
\bullet Diferentiale de ordin superior
\bullet Probleme de extrem local

Anexa : Fisa de seminar

Tema :

Aflati diferentiala de ordinul 2 a functiei f:D\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} in punctul A(1,-1,1) in fiecare din cazurile de mai jos :

\bullet f(x,y,z)=x^3+3x^2y+2\cdot arctg(z)

\bullet f(x,y,z)=x\cdot e^{2x+3y-z}

\bullet f(x,y,z)= ln(x-y)+ln(z+x)+ln(z-y)

Aflati una dintre diferentiale in cele doua moduri studiate.

Seminarul 9

Variantele de la test :

varianta A , varianta B , varianta C

Barem de corectare a primului test :

\bullet …………… 2 puncte din oficiu

\bullet problema cu spatii metrice :

demonstreaza d_1) ……………………….. 2 puncte

demonstreaza d_2) ……………………….. 2 puncte

demonstreaza d_3) ……………………….. 2 puncte

afla multimea A ………………………………..2 puncte

\bullet problema cu formula lui Taylor sau Maclaurin

scrie formula corecta ………………….. 1 punct

calculeaza 4 derivate ……………………..4 puncte

derivata de ordinul n ……………………….. 1 punct

restul lui Lagrange……………………… 1 punct

calcule si finalizare…………………………..1 punct

\bullet problema cu studierea naturii a doua serii :

criteriul corect………………… 2 x 1 punct

calcule…………………………… 2 x 2 puncte

interpretare rezultate………….2 x 1 punct

\bullet problema cu aflarea sumei a doua serii :

suma exacta : …………….. 4 puncte

suma aproximativa:

formula+ criteriul corect ……. 2 puncte

calcule…………… 2 puncte

Punctajul maxim este de 32 de puncte, se imparte la 4 si se aduna cu cele 2 puncte din oficiu !

Seminarul 8
Tematica seminarului :
\bullet Derivate partiale si diferentiale

\bullet Mai jos aveti doua subiecte date anul trecut la examenul partial :

Subiectul A

1. Clase de multimi in spatii metrice. Spatii metrice compacte, complete

2. Serii alternante. Criteriul lui Leibnitz.

3. Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi.

4. Derivatele partiale pentru functii f=f(x,y) de ordinul 1 si 2.

5. Sa se verifice ca f:(0,\infty)\times (0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} f(x,y)=|ln \frac{x}{y}| este o metrica pe (0,\infty)

6. Scrieti formula lui Mac-Laurin de ordinul n pentru f(x)=\frac{1}{x^2-1}

7. Calculati derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale functiei f(x,y,z)=(x^2-2xy-z)e^{x-2y+z^2}

8. Calculati suma seriei \sum\limits_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac{1}{n})

Subiectul B

1.Spatii metrice. Definitie. Trei exemple.

2.Enuntati principiul contractiei.

3.Formula lui Taylor si Mac-Laurin de ordinul n.

4. Criteriile lui Cauchy si Abel pentru serii cu termeni oarecare.

5. Studiati convergenta seriei : \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n})^{n^2}a^n

6. Determinati suma seriei \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+10)(n+11)}

7. Calculati derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f(x,y)=(1+e^y)cosx-yxe^y

8. Dezvoltati functiile f(x)=e^x si g(x)=sinx in serie dupa puterile lui x in vecinatatea originii

Seminarul 7
Tematica seminarului :
\bullet Dezvoltari in serie Taylor si Maclaurin

Derivate de ordinul n uzuale :

(e^x)^{(n)}=e^x\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(\frac{1}{x})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n+1}}\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(x^k)^{(n)}=\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}\hspace{2cm}1\leq n\leq k,\hspace{0,2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(a^ x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

Sinusul si cosinusul :

(\sin x)^{(2n)}=(-1)^{n}\sin x\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(\sin x)^{(2n+1)}=(-1)^{n}\cos x\hspace{2cm}

(\cos x)^{(2n)}=(-1)^{n}\cos x\hspace{2cm}n\in\mathbb{N}^{*}

(\cos x)^{(2n+1)}=(-1)^{n+1}\sin x\hspace{2cm}

Sinusul si cosinusul hiperbolic :

sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} (sinusul hiperbolic)

ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (cosinusul hiperbolic)

prin urmare :

sh(x)^{(2n)}=sh(x)

sh(x)^{(2n+1)}=ch(x) analog pentru cosinusul hiperbolic.

Aplicatie :
  • Rolul seriilor Taylor si implicit al polinoamelor Taylor T_n(x), asociate functiei f in punctul a, este sa aproximeze functia f intr-o vecinatate a punctului a . De exemplu pentru functia arctg(x) avem urmatoarea dezvoltare in serie Taylor , centrata in a=0:

arctg(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...

aceasta convergenta realizandu-se pentru orice x\in[-1,1]

Inlocuim x=1, arctg(1)=\frac{\pi}{4} si astfel rezulta:

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+...+\frac{(-1)^n}{2n+1}+...

prin urmare gasim o frumoasa aproximare a numarului \pi.

Alegand un numar n suficient de mare vom obtine prin calcul :

\pi\approx3.14159265358979323846264338327950288

Atentie : memorarea acestei valori te transforma in tocilar !

Tema : 404 not found🙂
Seminarul 5-6
Tematica seminarului :
\bullet Serii numerice
\bullet Criterii de convergenta care presupun studiul termenului general

Anexa : Suportul teoretic pentru seminar: Seminarul 6

1=2 -solutie

\bullet am presupus in rationamentul facut ca :

1-1+1-1+1-1+.....=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n=0

asadar am presupus ca seria \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n are suma 0 , prin urmare e convergenta ! FALS

seria \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n (numita seria lui Grandi ) este o serie geometrica cu ratia r=-1 si deorece |r|=1 ea este divergenta, deci nu are suma.

Lampa lui Thompson-solutie

Sa presupunem ca sunteti intr-o camera cu o lampa de citit deschisa si o forta paranormala🙂 realizeaza urmatorul fenomen : dupa un minut stinge lampa, dupa inca jumatate de minut aprinde lampa, dupa inca un sfert de minut stinge lampa, dupa inca \frac{1}{8} din minut aprinde lampa, dupa inca \frac{1}{16} din minut stinge lampa…. si continua astfel intruna.

a) Cat timp va dura fenomenul paranormal la care asistati ?

b) Dupa 3 minute lumina este aprinsa sau stinsa ?

Solutie :

a) fenomenul va dura :

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 ( minute )

b) vom atasa valoarea 1 situatiei in care lampa este deschisa si valoarea 0 situatiei in care lampa este inchisa :

la inceput : 1 (deschisa)

dupa 1 minut : 1-1=0 (inchisa)

dupa inca \frac{1}{2} minute : 1-1+1 =1 (deschisa)

dupa inca \frac{1}{4} minute: 1-1+1-1=0 (inchisa)

Daca dupa 3 minute lumina ar fi aprinsa sau stinsa atunci am avea :

1-1+1-1+1-1+\ldots=\left\{\begin{array}{ll}1,& aprinsa\\ 0,& stinsa\end{array}\right.

Adica din nou ar trebui sa presupunem ca seria lui Grandi este convergenta si are suma 0 sau 1 , ceea ce este fals si prin urmare nu putem decide ce se intampla peste 3 minute !

Explicatia adusa de Thompson acestei situatii este aceea ca avem de a face cu o super-sarcina : adica trebuiesc realizate o infinitate de operatii intr-un interval de timp finit. Momentan aceste super-sarcini sunt considerate imposibile.

Aici gasiti mai multe informatii despre super-sarcini .

Tema :

1.Studiati convergenta seriilor si aproximati suma celor convergente cu o eroare mai mica decat 10^{-2} :

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+3}}{n^2-n+1}

\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(2k+1)!}{3^k\cdot(k-1)!}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-5)^{n-1}}{6^{n+1}}

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5n}{6n-1}\right)^n

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{n}\right)^{n+1}

2. Aflati sumele urmatoarelor serii :

\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}

\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{n!}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2-1}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^2-1}

\sum\limits_{k=4}^{\infty}\frac{3}{k(k-3)}

Seminarul 4
Tematica seminarului :
\bullet Serii numerice
\bullet Criterii de convergenta care presupun compararea

               \bullet     In economie o aplicatie a seriilor numerice o reprezinta calcularea valorii prezente a unui sir de plati. Pentru aceasta avem nevoie de de calcularea valorii prezente a unei sume de bani care va fi incasata in viitor, notiune utila in estimarea riscului investitiei .

Aceasta operatie este inversa operatiei de determinare a sumei pe care o vom primi in viitor daca investim o anumita suma acum. Presuspunem ca cineva investeste 90 $ la o rata anuala a dobanzii de 10\%, la finalul anului va avea 90(1+10\%)=99 $.

In general investirea a X $ la o rata a profitului de r va genera la final V=X(1+r) . Asadar este echivalent cu a spune ca valoarea prezenta a unei sume V care va fi primita intr-un an este de X=\frac{V}{1+r}

Acelasi rationament poate fi folosit pentru a aprecia o suma care va fi primita la un anumit numar de perioade in viitor. Daca cineva detine suma Y pe care o poate investi cu un profit de 10\% pe an, cu adunarea dobanzii compuse la finalul fiecarui an (aici insemnand ca suma adunata cu profitul dupa un an va fi reinvestita ) atunci Y va valora Y(1+0,1) dupa un an si Y(1+0,1)(1+0,1) dupa doi ani.

Deci valoarea prezenta a unei sume de 100 $ care va fi primita peste doi ani este de X=\frac{100}{(1+0,1)^2}=82,64 $. In general valoarea prezenta PV_t a unei sume V care va fi incasata peste t perioade mai tarziu, la o rata a profitului de r pe fiecare perioada, iar la finalul fiecarei perioade se reinvesteste si profitul, se calculeaza dupa formula :

PV_t=\frac{V}{(1+r)^t}

      De remarcat ca t este singura variabila in formula iar daca t creste PV_t devine tot mai mica:

\lim\limits_{t\rightarrow\infty}PV_t=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{V}{(1+r)^t}=0

      Acest lucru e natural deoarece cu cat va primi o persoana suma fixa V mai indepartat in viitor, cu atat mai putin ar trebui sa investeasca acum pentru a replica acea plata viitoare.

      Valoarea prezenta a unui sir de plati :

\bullet in multe situatii trebuie sa calculam valoarea prezenta a unui sir de plati : de exemplu o ipoteca sau un imprumut pe termen lung reprezinta o suma de bani imprumutata unui individ, sau unei institutii, in schimbul unui viitor sir de plati prestate de acesta.

      Astfel daca un individ realizeaza anual un sir de plati in valoare de V, pentru T ani , la dobanda de r atunci valoarea prezenta a acestui sir de plati va fi :

P_T=\sum\limits_{t=1}^T\frac{V}{(1+r)^t}=\frac{V}{1+r}+\frac{V}{(1+r)^2}+\ldots+\frac{V}{(1+r)^T}

      Daca platile se fac pe o perioada mare de timp (de ex 50 de ani) atunci putem aproxima valoarea prezenta acestor plati cu seria numerica:

\lim\limits_{T\rightarrow\infty}P_T=\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{V}{(1+r)^t}=V\cdot \sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{V}{(1+r)^t}=V\cdot\frac{\frac{1}{1+r}}{1-\frac{1}{1+r}}=\frac{V}{r}

unde am tinut cont de suma seriei geometrice :

\sum\limits_{t=0}^{\infty}p^t=\frac{1}{1-p} pentru |p|=|\frac{1}{1+r}|<1

deci :

\sum\limits_{t=1}^{\infty}p^t=\frac{1}{1-p}-1=\frac{p}{1-p}

Tema :

1.  Se stie ca :  1=1    daca nu sunteti de acord astept mail  :)

dar putem  scrie :

1=1+0+0+0+\ldots+0+\ldots            (am adunat o infinitate de   zerouri)

adica :

1=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots+(1-1)+\ldots

adunarea este asociativa ,  deci putem grupa astfel termenii :

1=1+1 + (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots+(-1+1)+\ldots

prin urmare  gasim :

1=2+0+0+0+0+\ldots+0+\ldots

 adica:

 1=2   !

Va rog sa postati comentarii  referitor la aceasta  descoperire    🙂

2.     Sa presupunem ca sunteti intr-o camera cu o lampa de citit deschisa si o forta paranormala🙂 realizeaza urmatorul fenomen : dupa un minut stinge lampa, dupa inca jumatate de minut aprinde lampa, dupa inca un sfert de minut stinge lampa, dupa inca \frac{1}{8} din minut aprinde lampa, dupa inca \frac{1}{16} din minut stinge lampa…. si continua astfel intruna.

a) Cat timp va dura fenomenul paranormal la care asistati ?

b) Dupa 3 minute lumina este aprinsa sau stinsa ?

3.    Studiati natura urmatoarelor serii :

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3n+1}{n^3+n-4}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3n^3+1}{n^3+n-4}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^n+1}{4^n+n-4}

\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{n-3}}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4}{n^2+\sqrt{n}}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+2}}{3^n}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^3 n}{2^n-n}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n-1}}{4^{n+2}}

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{5^n+4^n}

3. Aflati suma seriilor:

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{4^n}

\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-\frac{1}{2})^n

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{5^{n+1}}

Seminarul 3
Tematica seminarului :
\bullet Spatii metrice
\bullet Contractii
Anexa 1 : Contractii, spatii metrice si fractali

Fractalul   este „o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părţi, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puţin aproximativ) o copie miniaturală a întregului”. 

 Aceasta nu este, evident, o definitie matematica, ci mai degraba una intuitiva.Sa prezentam si cateva exemple :

 

 Fulgul de zapada a lui Koch

Triunghiul  lui Sierpinski

         Dupa cum observati divizarea in subtriunghiulete este evidenta pana la al saptelea nivel,   dar aceasta subdivizare in triunghiulete se repeta la infinit !

 Pentru prima data aveti in fata infinitul !!!!

 si totusi pare atat de finit !  Fractalii sunt o imagine geometrica a infinitului .

          V-ati fi asteptat ca infinitul sa arate altfel ?  Ce aveti in fata ochilor  este simplu si complex in acelasi timp .  Reguli simple pot genera structuri foarte complexe,  va trebui sa redefinim complexitatea .  Ce este complexitatea  daca unele lucruri pot fi simple si complexe in acelasi timp ?

Buretele lui Menger

    . . .  urmeaza partea spectaculoasa  :

Fractali in natura . . . lumea vazuta altfel

O aplicatie importanta a fractalilor apare in grafica pe calculator,   deseori peisaje generate de fractali sunt utilizate pentru a crea decorul filmelor SF.

 

 

         In matematica numin contractie pe un spatiu metric   (X,d)   o functie   f:X\rightarrow X   pentru care exista un numar real   c\in[0,1) astfel incat : d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y),   pentru orice x,y\in X,   asadar o functie care micsoreaza distantele.

O intreaga clasa de fractali ,   fractalii exact similari,    este generata de asemenea functii in felul urmator:

Avand un set de contractii f_1, f_2,...f_k si o multime A construim functia : T(A)=f_1(A)\cup f_2(A)\cup f_3(A)....\cup f_k(A) care este o contractie pe familia multimilor compacte nevide din X care devine spatiu metric complet cu   metrica lui Hausdorff

Aceasta contractie,  conform   teoremei de punct fix a lui Banach,  are un unic punct fix:

F=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} T^n(A), si T(F)=F.

unde am notat T^2(A)=T(T(A)), adica T aplicat multimii T(A), T^3(A)=T(T^2(A)), …. T^n(A)=T(T^{n-1}(A)).

Multimea F este de fapt fractalul generat de setul de contractii.

In economie fractalii apar in Principiul valului a lui Elliot :

              Teoria Valului a lui Elliott este o forma de analiza care incearca anticiparea trendurilor in piete. Este numita asa dupa creatorul ei Ralph Nelson Elliott de profesie contabil. Prima publicatie despre aceasta teorie se numeste „The Wave Principle” autorul ei fiind Charles J. Collins si este bazata pe munca originala prezentata lui de catre Elliott. In 1946, doi ani inainte de moartea sa, Elliott termina complet teoria si scrie cartea „Nature`s Law-The Secret of the Universe”.

Principiul valului, descris de Elliott, sustine ca preturile alterneaza intr-o serie de cinci valuri si trei valuri la toate nivelurile trendului dupa cum se vede in imaginea de mai jos.

Principiul valului.svg

 Pe masura ce aceste “valuri” se dezvolta ceea ce rezulta este un veritabil fractal !

Conform teoriei in fiecare trend exista o serie de trenduri mai mici care formeaza aceasta configuratie de 5 cu 3. Valurile 1, 3 si 5 sunt numite valuri de impuls iar valurile 2 si 4 valuri corective. Odata completa miscarea de 5 valuri piata se manifesta printr-o miscare de trei valuri corective A,B si C. Teoria Valului Elliott are trei aspecte importante: configuratia valurilor, raportul dintre ele, si timpul in aceasta ordine.

Configuratia se refera la imaginea grafica si este cel mai important element al teoriei.

Raportul dintre valuri reprezinta corelatia matematica existenta intre acestea, masurand proportia dintre varfuri si depresiuni.    Teoria sustine ca raportul dintre inaltimea unui val si urmatorul val mai inalt era de aproximativ 0.618 iar invers de 1.618.    Numarul 1.618 este cunoscut sub numele de coeficientul de aur fiind unul dintre cele mai cunoscute si importante elemente ale numerelor Fibonacci.

Pentru confirmarea configuratiilor de val se utilizeaza corelatiile de timp. Elliott a identificat noua perioade de timp pentru cicluri:

1.     Marele superciclu         (150-170 ani)

2.     Superciclul           (40-70 ani)

3.     Ciclul          (peste 1 an)

4.      Primar       (de la cateva luni la cativa ani)

5.       Intermediar         (cateva saptamani pana la cateva luni)

6.       Minor         ( cateva saptamani)

7.       Minute          (zile)

8.      Minuette        (ore)

9.       Subminuette          (minute)

Pentru identificarea valurilor sustinatorii acestei teorii incearca sa citeasca „semnatura” fiecarui val pentru a determina miscarea in care se afla piata si mai apoi a anticipa miscarea urmatoare. Astfel, printre altele, veti gasi urmatarele descrieri ale valurilor:

Valul 1             este valul de inceput al unui nou trend, in aceasta faza stirile fundamentale despre piata sunt in totalitate negative. Trendul anterior este considerat inca puternic, volumul poate incepe sa creasca pe ceea ce se considera inca miscare corectiva.

Valul 2            este un val corectiv care nu depaseste punctul de inceput al valului 1.     De obicei stirile sunt inca negative insa apar unele semne de avertizare, volumul este mai mic in directia trendului anterior si pretul nu coboara mai mult de 61.8%.

Valul 3           reprezinta de obicei cea mai mare si mai puternica miscare in seria de 5 valuri .      Stirile sunt pozitive si pretul merge in directia valului rapid si sustinut.     Este momentul in care „multimea” incepe sa ia parte la noul trend.

Valul 4           este un val corectiv in care pretul poate sa mearga lateral pe perioade sustiunte de timp. Corectia este de cele mai multe ori peste 38.2% din valul anterior iar volumul este mai scazut decat pe valul 3.

Valul 5             este valul final in directia trendului dominant, pe acesta stirile sunt pozitive in totalitate si marea majoritate a investitorilor cumpara chiar inainte de maximul pietei. Volumul este mai mic decat pe valul 3 si multi indicatori de avant formeaza divergente fata de pret

Tema :

1.    De ce functia d:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R} definita prin:

d(a,b)=|a^2-b^2|,

unde a,b\in\mathbb{Z} nu reprezinta o metrica ?

2.   Fie X=(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], d:X\times X\rightarrow\mathbb{R} o functie definita prin d(x,y)=|\sin(x-y)|. Sa se arate ca d este o metrica si sa se calculeze d(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}).

3.    Aratati ca in spatiul metric (\mathbb{R}^2,d) , d(A,B)=|x_A-x_B|+|y_A-y_B| sirul A_n=(\frac{n+1}{n},\sin{\frac{1}{n^2}}) este convergent si aflati limita sa.

4.    In spatiul metric (\mathbb{R},d) , d(x,y)=|x-y| aflati multimea A=\{x\in\mathbb{R}:d(x,1)\leq 3\}

5.   Aratati ca functia f:(0,\infty)\times(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} definita prin f(x,y)=|\ln(\frac{x}{y})| reprezinta o metrica pe (0,\infty)

                                                                           (problema examen partial 2009 )

 6. Aratati ca  spatiul (\mathbb{R}, d)  este  un spatiu metric unde :

d(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}0,& x=y\\1, & x\neq y\end{array}\right.

Seminarul 2
Tematica seminarului :
\bullet derivatele functiilor elementare
\bullet limite de siruri
Anexa 1 :

\bullet   mai jos vom prezenta o aplicatie a derivatelor in economie.

Vom nota cu     C=C(y)     ( o functie de y deorece costul se modifica in functie de cantitatea produsa y )    costul total al producerii  unei  cantitati  y  dintr-un anumit produs.

Atunci raportul :

\frac{\Delta C}{\Delta y}=\frac{C(y+\Delta y)-C(y)}{\Delta y}

reflecta rata de schimbare (medie) a costului per unitate produsa in plus, din respectivul produs.

Daca luam \Delta y\rightarrow 0 obtinem variatia instantanee , care in general este numita  costul marginal al productiei :

\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta C}{\Delta y}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{C(y+h)-C(y)}{h}=C^{'}(y)

asadar derivata functiei cost total !

Situatia ideala , pentru firma, este atunci cand functia cost total C este liniara, de exemplu C(y)=80y si astfel C^{'}(y)=80 iar in acest caz volumul productiei nu influenteaza costul producerii unei extraunitati. Aceasta situatie poate sa nu fie adevarata pentru toate procesele de productie si astfel,  din punct de vedere al profitului,   problema apare atunci cand dispunem de un capital fix pe termen scurt iar pentru a mari productia este nevoie se marim numarul angajatilor.

Atunci, in general , noii angajati devin mai putin productivi, intrucat capitalul disponibil pentru fiecare este tot mai mic. Devine astfel cu atat mai costisitor sa produci extraunitati, din respectivul produs,  cu cat firma produce cantitati tot mai mari din respectivul bun ( productia creste ).

  •       Spre exemplu daca presupunem ca costul variaza in functie de unitatile produse in felul urmator : C(y)=y^2 atunci costul marginal este C^{'}(y)=2y care, dupa cum vedem, creste odata cu y.
  •      Daca se produc 200 de unitati din produs atunci costul marginal al producerii unei extraunitati este de 400.
  •      Daca se produc, insa , 300 de unitati din produs atunci costul marginal al producerii unei extraunitati este de 600.
Tema :

1. Sa se calculeze limitele : \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\frac{3n^2}{5n^2-1}-\frac{3n+1}{n+3})

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots+\frac{1}{2^n})

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}\cdot (-\frac{2}{3})^{n-1}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n+1}{3^{n+1}-1}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{2^n+n}{2^{n-1}+3}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{2^n+4\cdot 3^n}{3\cdot 4^n+4\cdot 5^n}}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+2}{n+1})^{3n+1}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\frac{5n+1}{5n})^{6n-4}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n(3^{\frac{1}{n}}-1)

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n\sin(\frac{2}{n})

2. Sa se calculeze derivata functiei f intr-un punct oarecare din domeniul de definitie al derivatei :

a) f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{x+1}

b) \frac{x\sin x}{2-\cos x}

c) \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}

d) \ln(1+x^2+x^3)

e) \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}

f) \sin(3x+1)

g) \cos(\sin x)

h) (x^2+1)arctg(x)

i) x^{\sin x}

j) \sqrt{x}^{\frac{1}{x}}

Seminarul 1
Tematica seminarului :
recapitularea materiei de analiza matematica din clasa a 11-a
\bullet functie, sir, convergenta sirurilor
 \bullet limite de functii, limite de siruri
\bullet continuitate, derivabilitate
Anexa 1 :

Vom da mai jos o aplicatie a continuitatii functiilor in economie. Amintim pentru inceput urmatoarea teorema :

Teorema : O functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} este continua in punctul a\in\mathbb{R} daca si numai daca limitele laterale ale functiei in punctul a sunt egale cu valoarea functiei in punctul a, adica: \lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)=f(a)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)
Modelul locatiei a lui H. Hotteling :

\bullet acest model economic a fost creat pentru a ilustra de ce un grup de firme care vand acelasi produs se aduna uneori una langa alta, geografic vorbind , cu toate ca, aparent, consumatorii ar fi mai bine serviti daca firmele ar fi in locatii diferite. De exemplu , vedem cum unul sau mai multe magazine de haine sunt asezate unul langa altul, sau vizavi, de-a lungul unei strazi. Modelul lui Hotteling explica cum o astfel de asezare poate fi rezultatul unei strategii de maximizare a profitului.

Presupunem ca sunt doua firme A si B care se afla localizate pe o strada de 1 km, pe care o reprezentam printr-o linie dreapta. Putem sa indicam orice locatie de pe strada printr-un numar L\in[0,1]. Presupunem apoi ca produsul pe care fiecare firma il vinde este identic, ca firmele cer acelasi pret p iar costul unei unitati din produs este c. Astfel profitul este p-c>0. Deoarece produsul comercializat de cele doua firme este identic iar pretul este acelasi presupunem ca consumatorii vor alege magazinul mai apropiat. De asemenea presupunem ca acestia sunt imprastiati uniform de-a lungul strazii si ca fiecare va cumpara o unitate de produs la o anumita perioada. Daca sunt N consumatori atunci potentialul profit insumat al fiecarei firme va fi N(p-c).

Problema strategica pentru fiecare firma va fi sa isi aleaga o locatie astfel incat sa maximizeze cota de piata , intrucat cu cat este mai mare cota de piata cu atat va fi mai mare si profitul firmei.

Decizia fiecarei firme va depinde de locatia aleasa de cealalta firma. Fixam locatia lui B , L_B\in[0,1] si vom studia cum se schimba cota de piata a lui A in functie de locatia acesteia L_A.

Pentru a intelege rationamentul studiem concret cazul L_B=0.2 :

\bullet daca alegem acum L_A=0.6 atunci mijlocul este la 0.4. Toti consumatorii din stanga lui 0.4 ( 40% din piata ) vor alege firma B iar cei din dreapta lui 0.4 vor alege firma A (60% din piata).

Daca calculam cota de piata CP, in functie de pozitia lui A, lucrurile arata cam asa:

CP(L_A)=\left\{\begin{array}{ll}L_A+0.5(0.2-L_A),& L_A<0.2\\ 0 .5,&L_A=0.2\\ 1-L_A+0.5(L_A-0.2),&L_A>0.2\end{array}\right.

              Cand locatia lui A este in 0 cota de piata este 10% ( iar a lui B 90%) apoi urmeaza o crestere continua pana la 20% (cand L_A se apropie de 0.2 ) apoi un salt discontinuu la 50% iar apoi din nou un salt discontinuu la 80% cand L_A se afla in dreapta lui 0.2 la o distanta foarte mica de acesta :     0.2+\varepsilon

Urmeaza apoi o descrestere continua pana la 40% (cand L_A=1 ).

               Asadar pentru firma A este profitabil sa se aseze in dreapta lui B si astfel asezarea lui B la 0.2 nu este profitabila din cauza acestei discontinuitati a functiei CP in 0.2. Aceasta situatie ramane valabila atata timp cat L_B<0.5. Daca L_B>0.5 atunci pentru firma A este profitabila asezarea la stanga lui B, si din nou avem o discontinuitate in punctul L_B pentru functia CP.

                Daca luam acum cazul general , cu L_B\in[0,1] oarecare atunci cota de piata CP a lui A variaza in functie de locatia firmei , L_A , in felul urmator :

CP(L_A)=\left\{\begin{array}{ll}L_A+0.5(L_B-L_A),& L_A<L_B\\ 0 .5,&L_A=L_B\\ 1-L_A+0.5(L_A-L_B),&L_A>L_B\end{array}\right.

sau am putea scrie :

CP(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+0.5(L_B-x),& x<L_B\\ 0 .5,&x=L_B\\ 1-x+0.5(x-L_B),&x>L_B\end{array}\right.

           Pentru a nu avea situatii favorabile pentru firma A functia trebuie   (conform celor discutate mai sus)  sa nu admita discontinuitati, deci sa fie continua in punctul L_B. Prin urmare :

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow L_B\\ x>L_B}}CP(x)=CP(L_B)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow L_B\\ x<L_B}}CP(x)

facand calculele gasim

0.5+0.5(L_B-0.5)=0.5=1-0.5+0.5(0.5-L_B)  

si de aici L_B=0.5.

             Firma A este nevoita, acum, pentru a-si maximiza profitul sa-si aleaga si ea locatia in 0.5 si observam ca in acest caz cand ambele sunt situate in centru niciuna nu poate sa-si maximizeze profitul daca isi schimba locatia !!! Asadar aceasta strategie este benefica pentru ambele firme.

Anexa 2 :

am adaugat cateva fisiere cu sinteze de teorie referitor la tematica seminarului, insa fac precizarea ca manualele din liceu trebuie sa fie baza unei recapitulari eficiente si nu aceste fisiere. Le-am postat aici doar ca o alternativa. Sper ca va vor fi de folos.

Regula lui L’Hospital

Limite de functii

Derivate si integrale

Derivatele functiilor compuse

Anexa 3 :

\bullet in multe carti apare formula de derivare a functiei f^g, eventual sub forma u^v ; asadar cazul cand atat baza cat si exponentul reprezinta o functie neconstanta.

Aceasta formula este inutila ! Ceea ce trebuie sa retineti este tehnica de obtinere a ei pentru a apela la aceasta de cate ori aveti nevoie.

Inlocuim pe f=e^{\ln(f)}                                         ( retineti formula )

si obtinem

f^g=(e^{\ln(f)})^g=e^{\ln(f)\cdot g} .

Acum trecem la derivare :

(e^{\ln(f)\cdot g})^{'}= e^{\ln(f)\cdot g}\cdot(\ln(f)\cdot g)^{'}=

=e^{\ln(f)\cdot g}(\ln(f)^{'}\cdot g+\ln(f)\cdot g^{'})=e^{\ln(f)\cdot g}(\frac{f^{'}}{f}\cdot g+\ln(f)\cdot g^{'})

am folosit aici formula (e^{u})^{'}=e^{u}\cdot u^{'} si apoi formula de derivare a produsului.

Exemplu :

((x^2+1)^{\sin(x)})^{'}=(e^{\ln(x^2+1)\cdot\sin(x)})^{'}=e^{\ln(x^2+1)\cdot\sin(x)}({\ln(x^2+1)\cdot \sin(x)})^{'}

=e^{\ln(x^2+1)\cdot\sin(x)}(\ln(x^2+1)^{'}\cdot\sin(x)+\ln(x^2+1)\cdot\sin(x)^{'})

=e^{ln(x^2~+~1~)\cdot~\sin(x)}~(\frac{(x^2~+~1)'}{x^2~+~1}~\sin(x)~+~ln(x^2~+~1)\cdot\cos(x))

=e^{\ln(x^2+1)\cdot\sin(x)}(\frac{2x}{x^2+1}\cdot\sin(x)+\ln(x^2+1)\cdot\cos(x))

si tinand cont de substitutia pe care am facut-o:

=(x^2+1)^{\sin(x)}(\frac{2x}{x^2+1}\cdot \sin(x)+\ln(x^2+1)\cdot \cos(x))

Tema de week end :

Despre economisti si predictiile lor

Economisti, revolutii, FMI

Criza si vinovatii ei – Invatamantul economic

Cu cat mai destept decat un laureat Nobel ?

6 comentarii (+add yours?)

  1. Mada
    Sep 26, 2011 @ 18:44:13

    Chiar eram curioasa ce ati facut cu site-ul, mai ales cu partea de ms:))

    Răspunde

  2. Emanuel
    Sep 27, 2011 @ 11:25:45

    E pusa pe invizibil :))

    Răspunde

  3. analizamatematicampt
    Oct 06, 2011 @ 06:16:54

    duminica

    Răspunde

  4. DianNa
    Oct 30, 2011 @ 19:47:43

    Si totusi, grupa 4 cand face seminarul?

    Răspunde

  5. lavinia
    Ian 02, 2012 @ 21:02:52

    profu’ ne e dor de dumneavoastra!!!

    Răspunde

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: